Question

在△ABC中，a²+b²=c²+ab，且sinAsinB=

3

4

，则三角形为

 

三角形．

Answer 1

分析：把题设等式代入余弦定理求得cosC的值，进而求得C，进而利用cos（A+B）=-cosC，求得cos（A+B）的值，利用两角和公式展开后求得cosAcosB的值，进而求得cos（A-B），判断出A-B=0，根据一个角为60°的等腰三角形则为等边三角形．

解答：解：由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC．
∵a²+b²=c²+ab，
∴ab-2abcosC=0．
∴cosC=

1

2

，∴C=60°
∵sinAsinB=

3

4

，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-

1

2

，
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=

1

4

∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题主要考查了三角形形状的判断．这类题目往往由于目标明确，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路．尤其本题中首先得出了一个特殊角，加之sinAsinB，则更容易联想到三角形内角和定理了．