Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的短轴两端点分别为A，B，过椭圆C外一点T（0，m）是否存在一条直线l交椭圆C于P，Q两点，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$？若存在，请求出此直线；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点（1，$\frac{3}{2}$），列出方程组，能求出a²=4，b²=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用根的判别式、韦达定理、向量数量积，结合已知条件能求出过椭圆C外一点T（0，m）存在一条直线l交椭圆C于P，Q两点，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，并能求出此直线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，
且经过点（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）设过椭圆C外一点T（0，m）存在一条直线l交椭圆C于P，Q两点，
∴设直线l的方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵椭圆的短轴两端点分别为A（0，$\sqrt{3}$），B（0，-$\sqrt{3}$），椭圆C外一点T（0，m），
$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，
∴（x₁，y₁-m）•（x₂，y₂-m）=$\frac{7}{6}$（0，$\sqrt{3}$-m）•（0，-$\sqrt{3}$-m），
即（k²+1）x₁x₂=$\frac{7}{6}（{m}^{2}-3）$，
∴$（{k}^{2}+1）×\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7}{6}（{m}^{2}-3）$，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴过椭圆C外一点T（0，m）存在一条直线l交椭圆C于P，Q两点，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，
此直线方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}x+m$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的探究与求法，考查推理谁论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查转化思想、化归思想，是中档题．