题目内容

已知向量
a
=(sinx，2)，
b
=(cosx，-1)．
（1）当
a
∥
b
时，求sin2x-sin2x的值；
（2）求f(x)=(
a
+
b
)•
a
在[-
π
2
，0]上的值域．
分析：（1）利用向量共线的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出tanx，利用三角函数的平方关系和二倍角公式求出值．
（2）利用向量数量积的运算律求出函数f（x），利用三角函数中的公式：asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)化简函数，利用三角函数的有界性求出值域．
解答：解：（1）∵
a
∥
b
，
∴2cosx+sinx=0，∴tanx=-2．
sin2x-sin2x=
sin2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
tan2x-2tanx
1+tan2x
=
8
5
．
（2）∵
a
+
b
=(sinx+cosx，1)，
∴f(x)=(
a
+
b
)•
a
=(sinx+cosx)•sinx+2
=
1
2
(sin2x-cos2x)+
5
2
=
2
2
sin(2x-
π
4
)+
5
2
．
∵-
π
2
≤x≤0，
∴-
5π
4
≤2x-
π
4
≤-
π
4
，
∴-1≤sin(2x-
π
4
)≤
2
2
，
∴
5-
2
2
≤f(x)≤3．
点评：本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的运算律、三角函数的平方关系和商数关系、三角函数的有界性．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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