Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，根据椭圆的几何性质得出2a+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）
所以a=3，．
所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以 ．
由 ，
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（7分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
将 ①代入上式，解得 或m=3（舍）．…（8分）
所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=
则有=．…（10分）
设，则．
所以当时，S_△ABC取得最大值．…（12分）
点评：本题考查椭圆的方程和三角形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．