Question

（本题14分）
已知向量动点到定直线的距离等于并且满足其中Ｏ是坐标原点，是参数.
（I）求动点的轨迹方程，并判断曲线类型；
(Ⅱ) 当时，求的最大值和最小值；
(Ⅲ) 如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率满足求实数的取值范围.

Answer 1

解：（1）设由题设可得
，
因

即为所求轨迹方程。 …………………………2分
当时，动点的轨迹是一条直线；
当时，动点的轨迹是圆；
当时，方程可化为当时，动点轨迹是双曲线；
当时，动点的轨迹是椭圆。………………………6分
（2）当时， 的轨迹方程为
得


∴当时，取最小值
当时，取最大值16.
因此，的最小值是，最大值是4. …………………10分
（3）由于即此时圆锥曲线是椭圆，
其方程可化为
①当时，
  …………………………………………12分
②当时，
而得，
综上，的取值范围是  …………………………14分

解析