Question

已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=    ．

Answer 1

【答案】分析：由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，）．由韦达定理可得b-a==，
利用二次函数的性质求得b-a的最大值．
解答：解：关于x的函数y==（1-t）- 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即=a，=b．
即 a²+（t-1）a+t²=0，且 b²+（t-1）b+t²=0，
故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，）．
由韦达定理可得b-a==，故当t=-时，b-a取得最大值为 ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．