Question

已知关于x的函数y=

(1-t)x-t2

x

（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=

2 3

3

．

Answer 1

分析：由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，

1

3

）．由韦达定理可得b-a=

(t-1)2-4t2

=

-3t2-2t+1

，
利用二次函数的性质求得b-a的最大值．

解答：解：关于x的函数y=

(1-t)x-t2

x

=（1-t）-

t2

x

 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即

(1-t)a+t2

a

=a，

(1-t)b+t2

b

=b．
即 a²+（t-1）a+t²=0，且 b²+（t-1）b+t²=0，
故a、b是方程x²+（t-1）x+t²=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，

1

3

）．
由韦达定理可得b-a=

(t-1)2-4t2

=

-3t2-2t+1

，故当t=-

1

3

时，b-a取得最大值为

2 3

3

，
故答案为

2 3

3

．

点评：本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．