Question

14．设$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$为单位向量，其中$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=\overrightarrow{e_2}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，则$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，$|\overrightarrow a|$=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式和向量的模，计算即可．

解答 解：设$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{e_2}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=\overrightarrow{e_2}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，
∴（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=2cosθ+1=2，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤180°，
∴θ=60°，
∴$|\overrightarrow a|$²=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=4${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+4$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+4×$\frac{1}{2}$+1=7，
∴$|\overrightarrow a|$=$\sqrt{7}$，
故答案为：60°，$\sqrt{7}$

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积先求出向量夹角是解决本题的关键，属于中档题．