Question

【题目】如图，四边形是矩形平面.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析(2) .

【解析】试题分析：（1）根据可得,由平面，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以过作的垂线为轴，以为，以为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量与平面的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）证明：设交于，

因为四边形是矩形， ，

所以，

又，所以，

因为，所以，

又平面，

所以，而，所以平面.

由面面垂直的判定定理可得平面平面

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得,

设平面的法向量，

则，取，即，

设平面的法向量，

则，取，即，

设平面和平面所成的二面角为，

则.

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.