Question

已知抛物线E：y²=2px（p＞0）经过圆F：x²+y²-2x+4y-4=0的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为

2

5

．

Answer 1

分析：求出已知圆心为F（1，-2），代入抛物线方程算出p=2，从而得到抛物线E的准线是x=-1．算出点F到x=-1的距离为d=2，结合垂径定理加以计算，即可算出抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长．

解答：解：∵圆F：x²+y²-2x+4y-4=0的圆心为（1，-2），半径r=3
∴将F（1．-2）代入抛物线方程，得（-2）²=2p×1，得p=2
∴抛物线E的准线是x=-

p

2

，即x=-1
∵点F到x=-1的距离为d=1-（-1）=2，
∴直线x=-1与圆相交所得的弦长为2

r2-d2

=2

5

，即为抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长
故答案为：2

5

点评：本题着重考查了圆的方程、直线与圆的位置关系和抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．