Question

如图，已知抛物线E：y²=x与圆M：(x-4)²+y²=r²(r＞0) 相交于A、B、C、D四个点，
(Ⅰ)求r的取值范围；
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

Answer 1

解：(Ⅰ)将代入，并化简得，①
E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x₁、x₂，
由此得，解得，
又r＞0，所以r的取值范围是。
(Ⅱ)不妨设E与M的四个交点的坐标为：A，，
则直线AC、BD的方程分别为，
解得点P的坐标为，
设，由及(Ⅰ)知，
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积，
则，
将代入上式，并令f（t）=S²，
得，
求导数，，令f′(t)=0，解得（舍去），
当0＜t＜时，f′(t)＞0；t=时，f′(t)=0；时，F(t)＜0，
故当且仅当t=时，f(t)有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为(，0)。