Question

4．（1）已知$\frac{π}{2}$＜a＜π，且sin（π-α）=$\frac{4}{5}$，求$\frac{sin（2π+α）tan（π-a）cos（-π-a）}{sin（\frac{3π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$的值．
（2）已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=-2x上，求$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及诱导公式，同角三角函数关系式可求cosα，tanα的值，利用诱导公式化简所求后即可得解；
（2）根据任意角的三角函数的定义可求tanα，利用三角函数恒等变化化简所求后即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，sin（π-α）=sinα=$\frac{4}{5}$，…（1分）
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，故tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$，…（3分）
由诱导公式可得$\frac{sin（2π+α）tan（π-α）cos（-π-α）}{sin（\frac{3π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{sinα•（-tanα）•（-cosα）}{-cosα•（-sinα）}$=tanα=-$\frac{4}{3}$；…（6分）
（2）由题意得sinα=-2cosα，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-2．…（7分）
∴$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ-（co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ）}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ+（co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ）}$…（9分）
=$\frac{2si{n}^{2}θ+2sinθcosθ}{2co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$
=$\frac{ta{n}^{2}θ+tanθ}{1+tanθ}$    …（11分）
=tanθ
=-2．…（12分）

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角函数恒等变化的应用，考查了计算能力，属于基础题．