Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上无极值点，试讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，对于任意，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 当或时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在单调递增，

单调递减；当时，

单调递减，在单调递增.

(2)见解析.

【解析】分析：（1）求出导数，由无极值点，得 （或恒成立，从而得，于是的，再求出导数，通过研究的根的情况得出（）的解集，从而得的单调性；

（2）利用导数知识可证，又在时，，因此要证题中不等式成立，只要证，这可由二次函数的性质得证.

详解：（1）

，

因为函数在上没有极值点，所以有，解得，

此时，

则，

，

(i)当时，在上，单调递减，

在上，单调递增，

（ii）当时，令方程的，解得或

①当时，在上，函数单调递增，

②当时，在上，函数单调递减，

当，即且时，方程的两根为，

③当时，， 当 ，

，单调递减；当时，， 单调递增，

④当时，，当，

，单调递增；当时，， 单调递减.

综上所述：当或时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在单调递增，

单调递减；当时，

单调递减，在单调递增.

（2）解：令，令，可得，

当时，，单调递减，当，，单调递增，

所以，即，

因为，所以，

又当时，，事实上.

要证原不等式成立，只需证明不等式，即.

事实上，令.

因为，二次函数的对称轴为，所以，

令，关于在上单调递减，所以

所以.

所以，当时，对于任意的，

不等式恒成立.