Question

【题目】已知.

（I）若，求曲线在点处的切线方程.

（II）若，求函数的单调区间.

（III）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ) ．

【解析】试题分析：(1)由题意易得， ，根据点斜式得到曲线在点处的切线方程；（2），对分类讨论明确相应不等式的解集，即可得到函数的单调区间；（3）不等式恒成立等价于在上恒成立，变量分离即在上恒成立。转求的最大值即可.

试题解析：

（I）∵，∴，

∴，

∴，

又，所有切点坐标为．

∴所求切线方程为，

即．

（II），

由，得或．

（）当时，由，得；

由，得或，

此时的单调递减区间为，

单调递增区间为和．

（）当时，由，得；

由，得或．

此时的单调递减区间为，

单调递增区间为和．

综上：当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为和；

当时， 的单调递减区间为，

单调递增区间为和．

（III）依题意，不等式恒成立，

等价于在上恒成立，

可得在上恒成立，

设，

则．

令，得， （舍），

当时， ；

当时， ，

当变化时， ， 变化情况如下表：

	单调递增		单调递减

∴当时， 取得最大值，

，∴．

∴的取值范围是．