题目内容

11.已知曲线${C_1}:\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$,曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}x=6-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.({t为参数})$
(1)写出曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程;
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最大值,并求此时点P的坐标.

分析 (1)由曲线C1的普通方程能写出曲线C1的参数方程,由曲线C2的参数方程能写出曲线C2的普通方程.
(2)C1与C2联立,利用根的判别式得到椭圆C1与直线C2无公共点,再求出椭圆上的点$P({\sqrt{3}cosα,sinα})$到直线x+y-8=0的距离,由此利用三角函数知识能求出点P到C2上点的距离的最大值,并能求此时点P的坐标.

解答 解:(1)∵曲线${C_1}:\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$,
∴曲线C1的参数方程:$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.({α为参数})$…(2分)
∵曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}x=6-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.({t为参数})$
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}t=6-x$,y=2+6-x,
∴曲线C2的普通方程:x+y-8=0.…(5分)
(2)由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$,得:4x2-48x+189=0,
△=482-4×4×189=-720<0,
∴椭圆C1与直线C2无公共点,
椭圆上的点$P({\sqrt{3}cosα,sinα})$到直线x+y-8=0的距离:
$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin({α+\frac{π}{3}})-8}|}}{{\sqrt{2}}}$…(7分)
∴当$sin(α+\frac{π}{3})=-1$时,d的最大值为$5\sqrt{2}$,…(9分)
此时点P的坐标为$({-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}})$. …(10分)

点评 本题考查曲线的参数方程和普通方程的互化,考查点到直线距离的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式的合理运用.

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