Question

若函数f（x）=log₂（kx²+4kx+3）的定义域为R，则k的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  4

  ）
• B、[0，

  3

  4

  ）
• C、[0，

  3

  4

  ]
• D、（-∞，0]∪（

  3

  4

  ，+∞）

Answer 1

分析：由于函数f（x）=log₂（kx²+4kx+3）的定义域为R则kx²+4kx+3＞0对任意的x恒成立然后分k=0和k≠0进行讨论即可．

解答：解：∵函数f（x）=log₂（kx²+4kx+3）的定义域为R
∴kx²+4kx+3＞0对任意的x恒成立
∴当k=0时3＞0对任意的x恒成立，符合题意
当k≠0时要使kx²+4kx+3＞0对任意的x恒成立只需

k＞0 △＜0

即可，此时0＜k＜

3

4

综上所述k∈[0，

3

4

)
故选B

点评：此题主要考查了恒成立的问题．解题的关键是将问题转化为kx²+4kx+3＞0对任意的x恒成立然后利用数形结合的思想将问题转化为函数g（x）=kx²+4kx+3的图象恒在x轴上方！要注意k=0不能漏掉讨论！