Question

9．椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴为4$\sqrt{3}$，焦距为4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ） 若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，且点P（-3，2）在线段AB的垂直平分线上，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：$2a=4\sqrt{3}，2c=4\sqrt{2}$，由b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m代入椭圆，利用韦达定理、中点公式求得AB的中点Q的坐标及|x₁-x₂|，由两点之间的距离公式求得丨PQ丨，则S_△PAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$|x₁-x₂|•丨PQ丨，从而求得△PAB的面积．

解答 解：（ I）由椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
由已知$2a=4\sqrt{3}，2c=4\sqrt{2}$，
∴$a=2\sqrt{3}，c=2\sqrt{2}$，
则b²=a²-c²=4，
∴椭圆G的方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（ II）设直线l的方程为y=x+m，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0，
∵直线l与椭圆G交于A、B两点，
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-12）＞0，即m²＜16；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点$Q（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\\{{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2m=\frac{m}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$Q（-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}）$；
又∵P（-3，2）在线段AB的垂直平分线上，
∴PQ⊥AB；
由直线AB斜率为1，
∴k_PQ=-1，即m=2（满足要求）；
从而$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-3}\\{{x_1}•{x_2}=0}\end{array}}\right.$，即|x₁-x₂|=3，中点$Q（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，
丨PQ丨=$\sqrt{（-3+\frac{3}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
因此△PAB的面积为S_△PAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$|x₁-x₂|•丨PQ丨=$\frac{9}{2}$，
△PAB的面积为S_△PAB=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义和性质的应用，直线和椭圆的位置关系的应用，考查韦达定理弦长公式及点到直线的距离公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．