Question

10．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A的坐标为（2，$\frac{π}{6}$），直线l过点A且与极轴成角为$\frac{π}{6}$．圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）写出直线l的直线方程，并把圆C的方程化成直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线圆C交于B，C两点，求|AB|•|AC|的值．

Answer 1

分析 （1）展开把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$代入可得直角坐标方程．
（2）①由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x可得参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：$2{t}^{2}+（7-\sqrt{3}）t$+$6-2\sqrt{3}$=0，利用|AB|•|AC|=|t₁t₂|即可得出．
②联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x+y}\end{array}\right.$，化为4x²-$（3\sqrt{3}+3）$x+6=0，△，0，无解，舍去．

解答 解：（1）点A的坐标为（2，$\frac{π}{6}$），化为直角坐标A$（2cos\frac{π}{6}，2sin\frac{π}{6}）$，即A$（\sqrt{3}，1）$．
∴直线l的方程为y-1=±（x-$\sqrt{3}$）$tan\frac{π}{6}$，化为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展开为${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），
化为直角坐标方程：x²+y²=x+y．
（2）①由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x可得参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：$2{t}^{2}+（7-\sqrt{3}）t$+$6-2\sqrt{3}$=0，
∴|AB|•|AC|=|t₁t₂|=3-$\sqrt{3}$．
②联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x+y}\end{array}\right.$，化为4x²-$（3\sqrt{3}+3）$x+6=0，△，0，无解，舍去．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆相交问题、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．