Question

设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点.
(2)若f(x)为[,]上的单调函数,求a的取值范围.

Answer 1

(1) x₁=是极大值点,x₂=是极小值点   (2) 0<a≤1或a≥

f'(x)=.
(1)当a=时,若f'(x)=0,则4x²-8x+3=0x₁=,x₂=,则

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴x₁=是极大值点,x₂=是极小值点.
(2)记g(x)=ax²-2ax+1,则
g(x)=a(x-1)²+1-a,
∵f(x)为[,]上的单调函数,
则f'(x)在[,]上不变号,
∵>0,
∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈[,]恒成立,
又g(x)的对称轴为x=1,故g(x)的最小值为g(1),最大值为g().
由g(1)≥0或g()≤00<a≤1或a≥,
∴a的取值范围是0<a≤1或a≥.