题目内容

设a＞0，f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（1）依题意，对一切x∈R，有f（-x）=f（x），即
1
aex
+aex=
ex
a
+
a
ex

∴(a-
1
a
)(ex-
1
ex
)=0对一切x∈R成立，则a-
1
a
=0，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+
1
ex1
-
1
ex2

=(ex2-ex1)(
1
ex1+x2
-1)=ex1(ex2-x1-1)
1-ex2+x1
ex2+x1
，
由x1＞0，x2＞0，x2-x1＞0，
得x1+x2＞0，ex2-x1-1＞0，
得1-ex2+x1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
练习册系列答案
相关题目
设a＞0，f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
设a＞0，f(x)=
2x
a
+
a
2x
是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
设a＞0，f(x)=
axa+x
令a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
设a＞0，f(x)=
2x
a
-
a
2x
是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在R上为增函数；
（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m2）＜0．

设a＞0,函数f(x)=,b为常数.

（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；

（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.

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