Question

21．（本小题满分14分）
设是数列的前项和，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）当（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积之和；
（3）设，求证：．

Answer 1

,

21．（本小题满分14分）
(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)
解:（1）∵是和的等差中项，
∴，                   ①                   ………分
当时，，解得.
当时，
　　.　②
①－②得   ，
∴ ，
∴ ，
∴   .
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴   .                                     …………分
（2）由和的所有可能乘积可构成下表：
，，，…，，
，，…，，
，…，，
………………
              ……分
构造如下行列的数表：
，，，…，，
，，，…，，
，，，…，，
………………
，，，… ，，              
设上表第一行的和为，则
.
于是

.
∴ .                    …………分
(3)∵，
∴，         …………分
∴

.
∵，
∴.
即.                                            …………分