Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知e=(t，0)，p=λ(

MA

| MA |

+

MB

| MB |

)，是否对任意的正实数t，λ，都有

e

•

p

=0成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，根据长轴长是短轴长的2倍求得a和b的关系，把点M代入椭圆的方程求得a和b的另一关系式，联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）根据

e

•

p

=0推断出

p

与x轴垂直，进而根据菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直，问题转化为求直线MA，MB的倾斜角是否互补，设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，设出A，B的坐标，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出k₁和k₂，求得k₁+k₂=0，推断出直线MA，MB的倾斜角互补，进而证明题设．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=8 b2=2

，
∴椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）若

e

•

p

=0成立，则向量

p

=λ(

MA

| MA |

+

MB

| MB |

)与x轴垂直，
由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直．为此只需考察直线MA，MB的倾斜角是否互补即可．
由已知，设直线l的方程为：y=

1

2

x+m
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，∴x2+2mx+2m2-4=0
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
只需证明k₁+k₂=0即可，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，而
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0，
直线MA，MB的倾斜角互补．
故对任意的正实数t，λ，都有

e

•

p

=0成立．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生转化和化归思想的运用，统筹运算的能力．