题目内容
设Sn是数列{
}的前n项的和,是否存在关于正整数n的函数f(n),使S1+S2+…+Sn-1=f(n)［Sn-1］对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论.
解析：假设存在f(n)，使等式成立.
当n=2时，S1=f(2)(S2-1),
即1=f(2)(1+-1)，解得f(2)=2.
当n=3时，S1+S2=f(3)(S3-1),即1+1+
=f(3)(1+
+
-1),∴f(3)=3.
猜想f(n)=n(n≥2).
下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式S1+S2+…+Sn-1=n(Sn-1)恒成立.
①当n=2时，由上面计算知，等式成立.
②假设n=k(k≥2)时，等式成立，即
S1+S2+…+Sn-1=k(Sk-1),则
S1+S2+…+Sk-1+Sk=k(Sk-1)+Sk=(k+1)Sk-k=(k+1)(Sk+1-
)-k
=(k+1)Sk+1-1-k=(k+1)(Sk+1-1),
即n=k+1时，等式也成立.
由①②知，对一切n≥2，等式都成立.
故存在f(n)=n,使S1+S2+…+Sn-1=f(n)(Sn-1)对大于1的正整数n都成立.
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