Question

对于数列{λ_n}，若存在常数M＞0，对任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1-λ_n|+|λ_n-λ_n-1|+…+|λ₂-λ₁|≤M，则称数列{λ_n}为∂-数列．
求证：
（1）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若{S_n}是∂-数列，则{a_n}也是∂-数列．
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是∂-数列，则{a_nb_n}也是∂-数列．

Answer 1

分析：（1）根据{S_n}为∂-数列，可得存在M＞0，使|a_n|+|a_n-1|+…+|a₂|≤M，利用|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤|a_n|+2|a_n-1|+…+2|a₂|+|a₁|≤2M+|a₁|，即可证得结论．
（2）利用数列{a_n}{b_n}都是∂-数列，可得不等式，从而可以证明|a_i|＜|a₁|+M=M₁，|b_i|＜|b₁|+M'=M₁'，进而可证得结论．

解答：证明：（1）∵{S_n}为∂-数列，∴存在M＞0，使|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
∴|a_n|+|a_n-1|+…+|a₂|≤M，
又|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤|a_n|+2|a_n-1|+…+2|a₂|+|a₁|≤2M+|a₁|．
∴{a_n}也是∂-数列．
（2）∵数列{a_n}{b_n}都是∂-数列，∴存在M，M'使得：|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M，|bn+1-bn|+|bn-bn-1|+…+|b2-b1|≤M′对任意n∈N都成立．
考虑|a_i+1b_i+1-a_ib_i|=|a_i+1（b_i+1-b_i）+b_i（a_i+1-a_i）|≤|a_i+1||b_i+1-b_i|+|b_i||a_i+1-a_i||a_i-a₁|
=|（a_i-a_i-1）+（a_i-1-a_i-2）+…+（a₂-a₁）|≤|a_i-a_i-1|+|a_i-1-a_i-2|+…+|a₂-a₁|＜M
∴|a_i|＜|a₁|+M=M₁
同理，|b_i|＜|b₁|+M'=M₁'
∴|ai+1bi+1-aibi|≤M1

n

i=1

|bi+1-bi|+M′1

n

i=1

|ai+1-ai|＜M1M′+M1′M
∴{a_nb_n}也是∂-数列．

点评：本题考查新定义，考查放缩法的运用，解题的关键是正确理解新定义，恰当放缩，属于中档题．