Question

设圆F以抛物线P：y²=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．
（I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．

Answer 1

分析：（I）设出圆F的方程，利用圆与抛物线P有且只有一个公共点，求出圆的半径，即可得到圆的方程；
（Ⅱ）设过点M（-1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T，连接TF，推出∠TMF=30°，通过直线MT与抛物线的两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用韦达定理求解|AB|，点E到直线AB的距离，求出圆E的半径R，即可求出圆E的方程．

解答：解：（Ⅰ）设圆F的方程为（x-1）²+y²=r²（r＞0）．
将y²=4x代入圆方程，得（x+1）²=r²，所以x=-1-r（舍去），或x=-1+r．
圆与抛物线有且只有一个公共点，
当且仅当-1+r=0，即r=1．
故所求圆F的方程为：（x-1）²+y²=1．…（4分）                           
（Ⅱ）设过点M（-1，0）与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．
连接TF，则TF⊥MF，且TF=1，MF=2，所以∠TMF=30°．…（6分）
直线MT的方程为x=

3

y-1，与y²=4x联立，得y²-4

3

y+4=0．
记直线与抛物线的两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
y₁+y₂=4

3

，y₁y₂=4，x₁+x₂=

3

（y₁+y₂）-2=10．…（8分）
从而AB的垂直平分线的方程为y-2

3

=-

3

（x-5）．
令y=0得，x=7．由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E（7，0）．…（10分）
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]

=8

2

．
又点E到直线AB的距离d=

7-0+1

2

=4，所以圆E的半径R=

(4 2 )2+42

=4

3

．
因此圆E的方程为（x-7）²+y²=48．…（12分）

点评：本题考查圆的方程的求法，圆与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．