Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于B、D两点，过F₂的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P
（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F₁F₂为直径的圆上，故x²+y²=1，由此可以证出．
（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由题意知|BD|=
再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．
解答：证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由AC⊥BD知点P在以线段F₁F₂为直径的圆上，故x²+y²=1，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，并化简得（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0．
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则，
|BD|=；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，
所以，|AC|=．
四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．
当k²=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为．
点评：本题综合考查椭圆的性质信其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注意公式的灵活运用，避免出现不应有的错误．