Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a1=

1

2

，5S_n=7a_n-a_n-1+5S_n-1（n≥2）；等差数列{b_n}，其中b₃=2，b₅=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）在数列{b_n}中是否存在一项b_m（m为正整数），使得b₃，b₅，b_m成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（3）若c_n=（b_n+3）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）5S_n-5S_n-1=7a_n-a_n-1，
∴2a_n=a_n-1，

an

an-1

=

1

2

，
∵a1=

1

2

，
∴an=

1

2

(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）∵等差数列{b_n}，b₃=2，b₅=6，
∴b_n=2n-4，
∴b_n=2m-4．
假设存在m使得b₃，b₅，b_m成等比数列，
∴b52=b3•bm，
∴m=11，
因此存在m使得b₃，b₅，b_m成等比数列．
（3）cn=(2n-1)×

1

2n

，
∴

Tn=1× 1 2 +3× 1 22 +5× 1 23 +…+(2n-1)× 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +3× 1 23 +…+(2n-3)× 1 2n +(2n-1)× 1 2n+1

∴

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(2n-1)×

1

2n+1

=

1

2

+

2× 1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)×

1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．