Question

如右图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

(1)证明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）证明：由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN.?

由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.?

又AN为AC在平面ABN内的射影.?

∴AC⊥NB.?

(2)解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB,?

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此，△ABC为正三角形.?

∵Rt△ANB≌Rt△CNB.?

∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.?

在Rt△NHB中，cos∠NBH===.

解法二：如图，建立空间直角坐标系M—xyz，令MN=1.?

则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.?

(1)证明：∵MN是l₁、l₂的公垂线段，l₂⊥l₁,?

∴l₁⊥平面ABN.?

∴l₂平行于z轴.?

故可设C（0，1，m）.?

于是=(1,1,m),=(1,-1,0),?

∵·=1+（-1）+0=0，?

∴AC⊥NB.

(2)解：∵=(1,1,m),=(-1,1,m),?

∴||=||,?

又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.?

在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.?

连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ,λ）(λ＞0).?

∴=(0,1-λ,-λ),=(0,1, ).?

∵·=1-λ-2λ=0，∴λ=.?

∴H(0,,),可得=（0，，-），连结BH，则=（-1，，）.?

∵·=0+-=0，?

∴⊥.又MC∩BH=H，

∴HN⊥平面ABC.∠NBH为NB与平面ABC所成的角.?

又=（-1，1，0）?

∴cos∠NBH===.