Question

如图，椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．
（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
（2）过点B的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁•k₂=-

1

4

求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；
（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．

解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），
则直线DE的方程为y=x-2，直线BP的方程为y=-

1

4

x+2
联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（

16

5

，

6

5

）
∵椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1，∴（

16

5

，

6

5

）满足方程，
∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
（2）直线BR的方程为y=k₁x+2
解方程组

y=k1x+2 x2 16 + y2 4 =1

，可得

x=0 y=2

或

x=- 16k1 1+4k12 y= 2-8k12 1+4k12

∴R的坐标为（-

16k1

1+4k12

，

2-8k12

1+4k12

）
∵k₁•k₂=-

1

4

，∴直线BS的斜率k₂=-

1

4k1

，∴直线BS的方程为y=-

1

4k1

x+2
解方程组

y=- 1 4k1 x+2 x2 16 + y2 4 =1

得

x=0 y=2

或

x= 16k1 1+4k12 y= 8k12-2 1+4k12

∴S的坐标为（

16k1

1+4k12

，

8k12-2

1+4k12

）
∴R，S关于原点O对称
∴R，O，S三点共线
∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．

点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．