Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，向量

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函数f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由平面向量数量积的运算公式，结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简得f（x）sin（2x-

π

6

）+1，再结合正弦函数周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]．再结合正弦函数的图象与性质，可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1的值域为[

3

2

，2]．由此结合方程f（x）-t=0有[

π

4

，

π

2

]上的解，即可求出实数t的取值范围．

解答：解：（I）∵

m

=(sinx，-1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，-

1

2

），可得
f(x)=(

m

+

n

)•

m

=sinx（sinx+

3

cosx）+

1

2

=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

∵sin²x=

1

2

（1-cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+1
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1的值域为[

3

2

，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴f（x）=t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得实数t的取值范围为[

3

2

，2]．

点评：本题给出向量含有三角函数的式的坐标形式，求函数f(x)=(

m

+

n

)的表达式并依此讨论方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解的问题，着重考查了平面向量数量积运算公式及其运算性质、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题．