题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）参考解析；（2）
【解析】
试题（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量
与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.
（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.
试题解析：（1）证明:因为
是直三棱柱，
所以
，
又
，
即
.
如图所示，建立空间直角坐标系
.
,
,
,
，
所以 
，
，
.
又因为 
，
，
所以 
，
，
平面
.
（2）解：由（1）知，
是平面
的法向量，
，
则 
.
设直线
与平面
所成的角为
， 则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
练习册系列答案
阶梯计算系列答案
相关题目
【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：
每分钟跳绳个数 |
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得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）
（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数
近似服从正态分布
，其中
，
为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：
（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望与方差.
附：若随机变量服从正态分布，则
，
，
.
