Question

如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且,,是的中点，求证：

(1)  平面;

(2)  平面;

(3)  求多面体的体积

Answer 1

(3)

解析:

(1)取AB的中点M,连FM,MC,

∵ F、M分别是BE、BA的中点

∴ FM∥EA, FM=EA----------2分

∵ EA、CD都垂直于平面ABC  ∴ CD∥EA∴ CD∥FM

又 DC=a,  ∴  FM=DC∴四边形FMCD是平行四边形

∴ FD∥MC  ，FD∥平面ABC---------------4分

 因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB

又  CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, --------------7分

因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.

又因为,      所以平面-------------9分

（3）由知，面，所以面

     所以到面的距离等于到面的距离，取中点，连结，

，则由垂直于平面，知，……..11分

故到面的距离，又是正三角形，所以……12分

又由等积法知，……………….13分

所以…………………..14分