Question

如图双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1焦点F₁，F₂，过点F₁作垂直于x轴的直线交双曲线于P点，且∠PF₂F₁=30°，则双曲线的渐近线是（　　）

• A．y=±x
• B．y=±2x
• C．y=±

  2

  x
• D．y=±4x

Answer 1

分析：先根据焦点三角形PF₂F₁中角的大小求出三边之间的关系，在根据双曲线定义把三边用含a，c的式子表示，就可得到含a，c的关系式，把c用a，b表示，求出a，b的关系式，再代入双曲线的渐近线方程即可．

解答：解：∵PF₁⊥F_1F2，∠PF₂F₁=30°
∴在Rt△PF₂F₁中，|PF₂|=

2|F1F2|

3

，，|PF₁|=

|F1F2|

3

∵P点在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴|PF₂|-|PF₁|=2a，|F₂F₁|=2c
∴

2|F1F2|

3

-

|F1F2|

3

=2a
即

2×2c

3

-

2c

3

=2a
∴

2c

3

=2c，

c2

3

=a2
∵c²=a²+b²，∴a²+b²=3a²
∴b²=2a²，b=

2

a
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1焦点在x轴上，
∴渐近线方程为y=±

b

a

x=±

2 a

a

x=±

2

x
∴渐近线方程为y=±

2

x
故选C

点评：本题考查了焦点三角形中三边关系，以及双曲线的渐近线的求法，属于圆锥曲线中的常规题．