Question

如图，F′，F分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，A、B为椭圆和双曲线的公共顶点．P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的第一象限内的点，且满足

PA

+

PB

=λ(

QA

+

QB

)(λ∈R)，

PF

=

3

•

QF′

．
（1）求出椭圆和双曲线的离心率；
（2）设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别是k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁+k₂+k₃+k₄=0．

Answer 1

分析：（1）设O为原点，由向量条件得

PO

=λ

QO

，于是O、P、Q三点共线，因为

PF

=

3

QF′

所以PF∥QF′，且 |PF|=

3

|QF′|得λ=

|OP|

|OQ|

=

|PF|

|QF′|

=

|OF|

|OF′|

=

3

，代入a，b化简即得a，b的关系式，从而得出椭圆和双曲线的离心率；
（ 2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），利用斜率公式得到：k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x 2 1 -2b2

=

x1

y1

；同理可得k3+k4=-

x2

y2

结合O、P、Q三点共线即可得出k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答：解：（1）设O为原点，则

PA

+

PB

=2

PO

，

QA

+

QB

=2

QO

．
而

PA

+

PB

=λ(

QA

+

QB

)，得

PO

=λ

QO

，
于是O、P、Q三点共线．                           （2分）
因为

PF

=

3

QF′

所以PF∥QF′，且 |PF|=

3

|QF′|，（3分）
得λ=

|OP|

|OQ|

=

|PF|

|QF′|

=

|OF|

|OF′|

=

3

，
∴

a2+b2

a2-b2

=3，
∴a²=2b²（5分）
因此椭圆的离心率为

2

2

．双曲线的离心率为

6

2

．（7分）
（ 2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
点P在双曲线

x 2

2b2

-

y 2

b2

=1的上，有

x 2 1

2b2

-

y 2 1

b2

=1．
则x₁²-2b²=2y₁²．
所以k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x 2 1 -2b2

=

x1

y1

．    ①（9分）
又由点Q在椭圆

x 2

2b2

+

y 2

b2

=1上，有x₂²-2b²=-2y₂²．
同理可得k3+k4=-

x2

y2

②（10分）
∵O、P、Q三点共线．
∴

x1

y1

=

x2

y2

．
由①、②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．                 （12分）

点评：本小题主要考查椭圆的几何性质、双曲线的几何、圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．