Question

20．如图，折叠矩形纸片ABCD，使A点落在边BC上的E处，折痕的两端点M、N分别在线段AB和AD上（不与端点重合）．已知AB=2，BC=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并求出θ的取值范围；
（2）试问折痕MN的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cosθ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设出AM，结合图象的对称性得到方程cos（π-2θ）=$\frac{2-x}{x}$，解出即可，再根据AM、AB、AN、AD的关系得到不等式组，解出即可；
（2）先求出MN，通过换元得到$MN=\frac{1}{{t-{t^3}}}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，设$h（t）=t-{t^3}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，通过求导得到函数的单调性，从而求出MN的最小值．

解答 解：（1）设AM=x，由图形的对称性可知：AM=ME=x，∠BME=π-2θ，
∵BM=2-x，∴cos（π-2θ）=$\frac{2-x}{x}$，整理得：x=$\frac{2}{1-cos2θ}$=$\frac{1}{{sin}^{2}θ}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$又∵$\left\{{\begin{array}{l}{AM＜AB}\\{AN＜AD}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}＜2}\\{\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}•tanθ＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{sinθ＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{sin2θ＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}＜2θ＜\frac{2π}{3}}\end{array}}\right.$，解得：$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$；
（2）在Rt△AMN中，$MN=\frac{x}{cosθ}=\frac{1}{{{{sin}^2}θcosθ}}=\frac{1}{{cosθ-{{cos}^3}θ}}$，$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$，
令$t=cosθ，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴$MN=\frac{1}{{t-{t^3}}}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
设$h（t）=t-{t^3}，t∈（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
∴h′（t）=1-3t²=-3（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令h′（t）=0，则t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍），
列表得：

t	$（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
h′（t）	+	0	-
h（t）	增	极大值	减

∴h（t）_max=h（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴当cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，MN有最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数问题，考查导数的应用，考查转化思想，换元思想，是一道中档题．