题目内容

已知向
a
=(sinx，2
3
cosx)，
b
=(2sinx，sinx)，设f(x)=
a
•
b
-1．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求f(x)的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，求α的最小值．
分析：（1）因为
a
=(sinx，2
3
cosx)，
b
=(2sinx，sinx)，根据向量数量积的坐标运算可求出
a
•
b
．再根据f(x)=
a
•
b
-1，就可求出（x）的解析式为．为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据x的范围求f（x）的范围．即可得到f（x）的值域；
（2）先由（1）所求f（x）的解析式求出对称轴，为带有参数k的无数多条，再根据函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，可求出α的值，最后利用α的范围求出其中最小的α值即可．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
-1=2sin2x+2
3
sinxcosx-1
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)
x∈[0，
π
2
]⇒2x-
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]
⇒sin(2x-
π
6
)∈[-
1
2
，1]⇒y∈[-1，2]

（2）∵由（1）y=2sin（2x-
π
6
）知，2x-
π
6
=
π
2
+2kπ，k∈Z，既x=
π
3
+2kπ，k∈Z为对称轴．
又∵若函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，∴α=
π
3
+2kπ，k∈Z
∵α＞0，∴当k=0时，αmin=
π
3
点评：平面向量是现行教材中的新增内容，近年来的高考对向量内容的考查逐步加强、渐趋完善，其中，向量与三角结合，既是一个热点，也是一个亮点，以平面向量为载体，以三角函数为背景，综合考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质以及平面向量的有关知识．求解本题，将|
m
+
n
|表示为θ的函数关系式是关键，三角公式的灵活运用是基础．在解题的过程中，要注意角的范围的限制作用，以防止漏解或增解，确保解题准确无误．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，sinx)，函数f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2
.
（1）当x∈[
π
6
，
π
3
]时，求函数f（x）的值域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
12
个单位后，再将所得图象上各点向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的图象与直线x=
π
6
，x=
π
2
以及x轴所围成的封闭图形的面积．
已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，
3
cos(π-x))，函数f(x)=
a
•
b
+
3
2

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
π
4
单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，
π
2
]上的最小值，并写出x相应的取值．
已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，函数f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
6
上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．
（2013•湖南模拟）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网