Question

（1）已知平面上两定点A（-2，0）、B（2，0），且动点M的坐标满足=0，求动点M的轨迹方程；
（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；
（3）如图1，l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，证明：．类比此结论到双曲线，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合（如图2）．若∠APB=α，试求角α的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点M为（x，y），利用坐标表示向量，代入题目中的条件得x²+y²=4，即得到点M的轨迹方程．
（2）由题意图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到新的圆的方程（x-1）²+（y+1）²=4，根据其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或
（3）由题得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得；类比椭圆的证明方法得到双曲线
的类似的性质 ．
解答：解：（1）设M（x，y），
由得x²+y²=4，
此即点M的轨迹方程．…（3分）
（2）将x²+y²=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆（x-1）²+（y+1）²=4…（5分）
依题意有，得k=0或…（8分）
（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的上方，并设P（a，t）（t＞0），
则…（10分）
所以…（12分）
所以．显然α为锐角，即：…（14分）
（ⅱ）不妨设点P在F的上方，并设P（c，t）（t＞0），
则，
所以
由于tanα＞0且，α为锐角，故．…（18分）
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查轨迹方程的求解，考查图象变换，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是把向量条件坐标化，熟练掌握直线与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的几何性质．