Question

已知平面上两个定点M

(0，-2)

、N

(0，2)

，P为一个动点，且满足

MP

•

MN

=

|

PN

|•|

MN

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点

AN

=λ

NB

．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明

NQ

•

AB

为定值．

Answer 1

分析：（1）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（2）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出

NQ

•

AB

，最后看其是不是定值即可．

解答：解：（I）设P（x，y）．
由已知

MP

=(x，y+2)，

MN

=(0，4)，

PN

=(-x，2-y)，

MP

•

MN

=4y+8.
|

PN

|•|

MN

|=4

x2+(y-2)2

（3分）
∵

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|
∴4y+8=4

x2+(y-2)2

整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由

AN

=λ

NB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ(y2-2)

将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λ²y₂（3分）
解（2）、（3）式得y1=2λ，y2=

2

λ

，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为y=

1

8

x2，求导得y′=

1

4

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y=

1

4

x1(x-x1)+y1，y=

1

4

x2(x-x2)+y2，
即y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

，y=

1

4

x2x-

1

8

x

2 2

解出两条切线的交点Q的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

8

)=(

x1+x2

2

，-2)（11分）
所以

NQ

•

AB

=(

x1+x2

2

，-4)•(x2-x1，y1-y2)
=

1

2

(

x

2 2

-

x

2 1

)-4(

1

8

x

2 2

-

1

8

x

2 1

)=0
所以

NQ

•

AB

为定值，其值为0．（13分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．