Question

【题目】已知函数.

（1）解不等式；

（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（3）若函数，其中为奇函数， 为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（1，3）（2） （3）

【解析】试题分析：

（1）利用换元法并通过解二次不等式可得2＜2x＜8，可得1＜x＜3，即为所求．（2）分离参数可得在有解，设，求出函数在区间上的值域即为所求范围．（3）根据题意求得的解析式，然后通过分离参数，将恒成立问题转化为具体函数的最值问题，求解即可．

试题解析：

（1）原不等式即为，

设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，

即t2﹣10t+16＜0，解得2＜t＜8，

即2＜2x＜8，

∴1＜x＜3

∴原不等式的解集为（1，3）．

（2）函数在上有零点，

所以在上有解，

即在有解．

设，

∵，

∴，

∴当时， ；当时， ．

∴．

∵在有解

∴

故实数m的取值范围为．

（3）由题意得，

解得．

由题意得，即

对任意恒成立，

令，则．

则得对任意的恒成立，

∴对任意的恒成立，

因为在上单调递减，

∴．

所以．

∴实数的取值范围．