Question

双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左焦点F₁，右焦点F₂．过F₁做倾斜角为α的弦BC，其中α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，当△F₂BC面积最小值为4

2

时，求a的值．

Answer 1

分析：由题意可得.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．设直线BC的方程为：x=my-

2

a，其中m=cotα．代入双曲线的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）则由 y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|结合α得范围可求m得范围，进而可面积得最小值，从而可求a

解答：解：.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．
设直线BC的方程为：x=my-

2

a，其中m=cotα．
代入双曲线的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则有； y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|=

2

a•

[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2

a•

[( 2 2 ma m2-1 )2-4• a2 m2-1 ]

=2a•

1+m2

1-m2

．
∵α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，∴0≤m＜1．
当m=0时，S△F2BC取得最小值2

2

a2．
由条件知，2

2

a2=4

2

∵a＞0，∴a=

2

．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题中要注意在设直线方程时的设法，直线方程为：x=my-

2

a得好处在于避免讨论，要注意掌握应用．