题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为
+
=1
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
分析：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，利用e=
，即可求得椭圆方程．
| ||
| 2 |
解答：解：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）上
∴
+
=1
∵e=
，∴
=
，∴a2=4b2
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为：
+
=1
故答案为：
+
=1．
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| 4 |
| a2 |
| 4 |
| b2 |
∵e=
| ||
| 2 |
| a2-b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴a2=20，b2=5
∴椭圆方程为：
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
故答案为：
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．
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