Question

F₁、F₂分别是双曲线x²-y²=1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+b与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．向量

AB

| AB |

在向量

F1F2

方向的投影是p．
（1）根据条件求出b和k满足的关系式；
（2）当(

OA

•

OB

)p2=1时，求直线l的方程；
（3）当(

OA

•

OB

)p2=m，且满足2≤m≤4时，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出圆O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；
（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用(

OA

•

OB

)p2=1以及（1）的结论求出b和k进而求得直线l的方程；
（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．

解答：解：（1）双曲线x²-y²=1的两个焦点分别是F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，从而圆O的方程为x²+y²=2．
由于直线y=kx+b与圆O相切，
所以有

|b|

1+k2

=

2

．
即b²=2（k²+1），（k≠±1）为所求．（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由

y=kx+b x2-y2=1.

消去y并整理得，（k²-1）x²+2kbx+（b²+1）=0，其中k²≠1．
根据韦达定理，得x1+x2=

2kb

1-k2

，x1x2=

b2+1

k2-1

．（5分）
从而

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)

b2+1

k2-1

+

2k2b2

1-k2

+b2．
又由（1）知b2=2(k2+1)，∴

OA

•

OB

=(1+k2)

2k2+3

k2-1

+

4k2(k2+1)

1-k2

+2(k2+1)．
又由于

AB

| AB |

在

F1F2

方向上的投影为p，
所以p2=cos2＜

AB

，

F1F2

＞=

1

1+k2

．∴(

OA

•

OB

)p2=

2k2+3

k2-1

+

4k2

1-k2

+2=1．
即2k²+3-4k²+2k²-2=k²-1，（8分）
∴k2=2?k=±

2

，b=±

6

所以直线l的方程为y=±

2

x+

6

或y=±

2

x-

6

．（9分）
（3）类似于（2）可得

2k2+3

k2-1

+

4k2

1-k2

+2=m，
即2k²+3-4k²+2k²-2=mk²-m，
∴k2=1+

1

m

，b2=4+

2

m

．（10分）
根据弦长公式，得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2kb 1-k2 )2- 4(b2+1) k2-1

=2

1+k2

b2+1-k2 (1-k2)2

=2

(2+ 1 m )(4+ 2 m +1-1- 1 m ) 1 m2

=2

(2m+1)(4m+1)

．
∵S△AOB=

1

2

|AB|•

2

=

1

2

×2

(2m+1)(4m+1)

×

2

=

16m2+12m+2

=

16(m+ 3 8 )2- 1 4

而2≤m≤4，
∴当m=2时，S△AOBmin=

16×22+12×2+2

=3

10

当m=4时，S△AOBmax=

16×42+12×4+2

=3

34

因此△AOB面积的取值范围是[3

10

，3

34

]．（14分）

点评：本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题．