Question

（2013•梅州一模）已知函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令bn=

an

2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

即可求出a_n；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用基本不等式的性质和“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，
∴当n=1时，a1=S1=

1

2

×12+

3

2

×1=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1．
当n=1时，也适合上式，
因此an=n+1(n∈N*)．
（2）由（1）可得：bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

．
∴T_n=

2

20

+

3

21

+

4

22

+…+

n

2n-2

+

n+1

2n-1

，

1

2

Tn=1+

3

22

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

，
两式相减得

1

2

Tn=2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=1+

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

1

2n-1

-

n+1

2n

∴Tn=6-

n+3

2n-1

．
（3）证明：由c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2

n+1 n+2 • n+2 n+1

=2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
又c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

成立．

点评：熟练掌握公式an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

、“错位相减法”、基本不等式的性质和“裂项求和”是解题的关键．