Question

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求异面直线OA与BD₁所成角的余弦值；
②求OA与平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析：①取BB₁中点M，连接MA，M0，可证得∠AOM即异面直线OA与BD₁所成角在三角形AOM中求解即可；
②连接BD，AC交于一点N，连接ON，可证得∠AON即所求的OA与平面BB₁D₁D所成角，在直角三角形ANO中求其余弦值即可．

解答：解：①如图取BB₁中点M，连接MA，M0，由正方体的性质知，OM∥BD₁，故∠AOM即异面直线OA与BD₁所成角
由于正方体的棱长为2，故B₁M=1，B₁O=

2

由勾股定理求得OM=

3

，
同理可求得AO=

6

，AM=

5

在△AMO中，由余弦定理知cos∠AOM=

3+6-5

2× 3 × 6

=

2

3

；
②如图连接BD，AC交于一点N，连接ON，N是底面的中心，连接ON，知ON=2，由正方体的性质知AN垂直面BB₁D₁D，故∠AON即所求的OA与平面BB₁D₁D所成角，
在直角三角形AA₁O中，cos∠AON=

2

6

=

6

3

即OA与平面BB₁D₁D所成角的余弦值是

6

3

点评：本题考查了求异面直线的方法与求线面角的方法，此两类角的求法都要注意做题步骤，做角，证角，求角，勿因忘记证明失分，此是本类题的易错点，切记！