Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，取BC₁中点G，证明

EF

与

A1G

共线，可得EF∥A₁G，即可证明EF∥平面A₁C₁B；
（2）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可．

解答：（1）证明：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A₁（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
取BC₁中点G，则G（1，2，1），

A1G

=（-1，2，-1），
又

EF

=（-1，2，-1），∴

EF

=

A1G

，
∴

EF

与

A1G

共线，∴EF∥A₁G，
∵A₁G?平面A₁C₁B，EF?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B；
（2）解：∵

AB

=（0，2，0），

EF

=（-1，2，-1），
∴cos＜

EF

，

AB

＞=

AB • EF

| AB || EF |

=

4

2 6

=

6

3

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年高考比较热的一个考点．