Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=

3

，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=1，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由AB²=AD²+BD²，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能够证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

AP

=(-1，0，1)，

BC

=(-1，0，0)，

BP

=(0，-

3

，1)，求出平面PBC的法向量

n

=(0，1，

3

)，由此能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，
又∵PD∩BD=D，∴AD⊥平面PBD，
又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD． （6分）
（Ⅱ）如图，分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，P（0，0，1），C(-1，

3

，0)，
∴

AP

=(-1，0，1)，

BC

=(-1，0，0)，

BP

=(0，-

3

，1)，
设平面PBC的法向量为

n

，则

n • BC =0 n • BP =0

，
解得

n

=(0，1，

3

)，
设AP与平面PBC所成角为θ，则sinθ=

| AP • n |

| AP || n |

=

6

4

． （12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．