Question

7．已知sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{3}{\sqrt{5}}$，且$\frac{5π}{2}＜α＜3π$，则cot$\frac{α}{4}$的值为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得 tanα 的值，可得tan$\frac{α}{2}$ 的值，进而求得tan$\frac{α}{4}$ 的值，从而求得cot$\frac{α}{4}$ 的值．

解答 解：∵sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{3}{\sqrt{5}}$，平方可得sinα=$\frac{4}{5}$，∵$\frac{5π}{2}＜α＜3π$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{4}{3}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$，∴tan$\frac{α}{2}$=2，或tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{2}$．
再根据$\frac{α}{2}$∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$），tan$\frac{α}{2}$＞0，∴tan$\frac{α}{2}$=2．
∵tan$\frac{α}{2}$=2=$\frac{2tan\frac{α}{4}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{4}}$，$\frac{α}{4}$∈（$\frac{5π}{8}$，$\frac{3π}{4}$），∴tan$\frac{α}{4}$＜0，∴tan$\frac{α}{4}$=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
∴cot$\frac{α}{4}$=$\frac{1}{tan\frac{α}{4}}$=$\frac{2}{-1-\sqrt{5}}$=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．