题目内容
如图是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求出该几何体的体积．
【答案】分析：（1）取BC中点N，连接EM，AN，MN，证明四边形EMNA为平行四边形，得EM∥AN，由线面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC．
（2）连接AD，把几何体分割成两个三棱锥，即可求解．
解答：（1）证明：如图，取BC的中点N，连接EM，MN，AN
则MN∥CD，且MN=
CD=2
∴AE∥MN，且AE=MN
∴四边形EMNA为平行四边形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）
如图，连接AD，则VVABCED=VD-ABC+VD-ABE
由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，点D到面ABE的距离等于点C到面ABE的距离，即等于CA的长2．
∴
=
=
=
=
∴
故几何体的体积为4．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定、三视图的有关知识、几何体的分割、三棱锥体积的计算．在解题中把不熟悉的几何体分割成常见几何体，体现数学解题中的化归的思想．
（2）连接AD，把几何体分割成两个三棱锥，即可求解．
解答：（1）证明：如图，取BC的中点N，连接EM，MN，AN
则MN∥CD，且MN=
CD=2∴AE∥MN，且AE=MN
∴四边形EMNA为平行四边形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）
如图，连接AD，则VVABCED=VD-ABC+VD-ABE由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，点D到面ABE的距离等于点C到面ABE的距离，即等于CA的长2．
∴
====∴
故几何体的体积为4．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定、三视图的有关知识、几何体的分割、三棱锥体积的计算．在解题中把不熟悉的几何体分割成常见几何体，体现数学解题中的化归的思想．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（2012•烟台三模）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（2012•上饶一模）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
如图是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．