Question

如图是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求出该几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）取BC中点N，连接EM，AN，MN，证明四边形EMNA为平行四边形，得EM∥AN，由线面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC．
（2）连接AD，把几何体分割成两个三棱锥，即可求解．

解答：（1）证明：如图，取BC的中点N，连接EM，MN，AN
则MN∥CD，且MN=

1

2

CD=2
∴AE∥MN，且AE=MN
∴四边形EMNA为平行四边形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）如图，连接AD，则VV_ABCED=V_D-ABC+V_D-ABE
由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，点D到面ABE的距离等于点C到面ABE的距离，即等于CA的长2．
∴VD-ABC=

1

3

×(

1

2

AB×AC)×DC=

1

3

×(

1

2

×2×2)×4=

8

3

VD-ABE=

1

3

×(

1

2

×AE×AB)×CA=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

4

3

∴VABCED=

8

3

+

4

3

=4
故几何体的体积为4．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定、三视图的有关知识、几何体的分割、三棱锥体积的计算．在解题中把不熟悉的几何体分割成常见几何体，体现数学解题中的化归的思想．