Question

（理）已知函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．

Answer 1

（1）∵函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，
∴f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，…（2分）
设F（x）=2x²+2x+a，则

△=4-8a＞0 F(-1)＞0

，
解之得0＜a＜

1

2

；             …（4分）
证明：（2）a=1时，f（x）=x²+ln（x+1），
令g(x)=f(x)-

5

2

x=x2+ln(x+1)-

5

2

x(x≥1)，…（6分）
则g′(x)=2x+

1

x+1

-

5

2

=

4x2-x-3

2(x+1)

=

(4x+3)(x-1)

2(x+1)

，
当x≥1时，g′（x）≥0，所以函数g（x）在[1，+∞）上是增函数．              …（8分）
由已知，不妨设1≤x₁＜x₂＜+∞，则g（x₁）＜g（x₂），
所以f(x1)-

5

2

x1＜f(x2)-

5

2

x2，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；                 …（10分）
（3）令函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），…（12分）
则h′(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在[0，+∞）上单调递增．            …（14分）
又h（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＞x²-x³恒成立．
取x=

1

n

∈(0，+∞)，则有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立，
故存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．…（16分）